Решение сложных задач по математике упрощенным способом
Решение сложных задач по математике упрощенным способом
Автор: Ложкина Ольга Федоровна
При подготовке к экзаменам в школьном курсе основной школы встречаются задачи пяти видов - это задачи на движения, на течения, на работу, на проценты, на сплавы, концентрации, смеси. Рассмотрим все эти виды задач.
1.Задачи на движения решаем с помощью таблиц, так как очень быстро можно решить задачу, оформление компактно, красиво.
Обучающимся 5 класса этот способ нравится, они уже решают без помощи учителя. Этим же способом решаем задачи на цены, количество и суммы.
1. №62 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)
Автобус шел 2 часа со скоростью 45 км/ч и 3ч со скоростью 60км/ч. Какой путь прошел автобус за эти 5 часов?
|
Скорость (км/ч) |
Время (ч) |
Путь (км) |
1 |
45 |
2 |
45х2=90 |
2 |
60 |
3 |
60х3=180 |
90+180=270
Ответ: 270 км.
Более сложная задача на движение.
2. № 621 (Алгебра8кл, Макарычев Ю.Н. и др)
Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне в 729 км увеличил скорость, с которой шел по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
|
Скорость (км/ч) |
Время (ч) |
Путь (км) |
По расписанию |
х |
720/х |
720 |
Фактически |
Х+10 |
720/(х+10) |
720 |
720/х =(720/(х+10))+1 О,Д,З, х≠0, х+10≠0
720х+7200=720х+х2+10х
х2+10х-7200=0
х1=80,х2=-90}по т. Виета.
Ответ 80км/ч.
2. Задачи на работу.
1. № 1488 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)
В цистерну через две трубы налили 2.28т бензина. Через первую трубу поступало3.6 т бензина в час, и она была открыта 0.4 ч. Через вторую трубу поступало за час на 0.8т бензина меньше, чем через первую. Сколько времени была открыта вторая труба?
|
Кол-во т за 1 час |
Время (ч) |
Всего( т) |
1 |
3.6 |
О.4 |
3.6х0.4=1.44 |
2 |
3.6-0.8=2.8 |
0.84:2.8=0.3 |
2.28-1.44=0.84 |
Ответ: 0.3ч
2. № 1748 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)
.За первые 14 рабочих дней завод изготовил 560 стиральных машин, а затем стал изготовлять в день на 5 машин больше. Сколько машин выпустил завод за 20 рабочих дней?
|
Кол-во машин за 1 день |
Кол-во дней |
Всего машин |
1 |
560:14=40 |
14 |
560 |
2 |
40+5=45 |
6 |
45х6=270 |
270+560=830
Ответ: 830 машин
3. № 172 (Алгебра8кл, Макарычев Ю.Н. и др)
Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 часа, а его ученик - за 6 часов. За какое время они смогут выполнить заказ, работая совместно?
|
Часть заказа, выполненная за 1 час |
Кол-во часов |
Весь заказ |
Мастер |
1/4 |
4 |
1 |
Ученик |
1/6 |
6 |
1 |
Вместе |
1/4+1/6=5/12 |
1:5/12=2.4 |
1 |
Ответ: 2.4 ч
3. Задачи на течения.
1. № 1220 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)
Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна 21,6 км/ч, а скорость течения реки 4,7 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения.
Задачи на течения решаем с помощью оформления такой записи:
Собственная скорость катера---------------21,6
Скорость течения реки-----------------------4,7
Скорость катера по течению----------------21,6+4,7=26,3
Скорость катера против течения-----------21,6-4,7=16,9
2 вид задачи на течения.
2. №1508 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)
Скорость катера по течению 18.6 км/ч, а против течения 14.2 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.
Собственная скорость катера----------?
Скорость течения реки------------------?
Скорость катера по течению----------18.6
Скорость катера против течения- ---14.2
Такие задачи тоже решаем, хотя таких задач мало в 5 классе.
Обучающимся даю правило, что если сложить скорости по течению и против течения и результат разделить на 2, то получим собственную скорость, а при вычитании и делении на 2 - скорость течения реки.
Задача повышенной трудности на течение:
3. №712 (Алгебра8кл, Макарычев Ю.Н. и др)
Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 часов. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч.найдите скорость катера в стоячей воде если скорость течения реки 2 км/ч.
Собственная скорость катера----------х
Скорость течения реки------------------2
Скорость катера по течению----------х+2
Скорость катера против течения- ---х-2
|
Скорость (км/ч) |
Время (ч) |
Путь (км) |
По расписанию |
х+2 |
6 |
6(х+2) |
Фактически по течению |
х+2 |
у/(х+2) |
у |
Фактически против течения |
х-2 |
у/(х-2) |
у |
у/(х+2)+ у/(х-2)=9 9х2-2х у-36=0 3 х2-56х+36=0 х1 =18 х2=2/3
у+40=6(х+2) у-6х=28
Ответ: 18км/ч
4. Задачи на проценты.
В учебнике «Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.» задачи на проценты решаются очень «сложно»
1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?
Так как1200 костюмов- это 100%, то чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100.Получим, что 1200:100=12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмам. Чтобы найти, чему равен 32% выпуска, надо 12*32=384.
Я всегда говорю, что процент от числа находится умножением, только не проценты умножаем, а десятичные дроби.
В течение нескольких уроков учимся превращать проценты в десятичную дробь и обратно.
2 способ решения:
32%=0.32 0.32*1200=384
2.За контрольную работу по математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?
Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого разделим 12 на 30.Так как 12/30=0.4, то 1% равен0.4. Чтобы узнать, чему равен 100%учащихся, надо умножить 0.4на 100.
Ответ: 40 учащихся.
2 способ решения:
Пусть х- количество всех учащихся
30%=0.3
Тогда решаем уравнение:
0.3*х=12 х=40
3. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажено картофелем?
Очень простой способ решения задачи:
Пусть х - количество %, засаженная картофелем
х%=0.01х 0.01х*1800=558 х=31%
Ответ:31%
Когда решаем задачи на проценты, не надо забывать - что принять за 100%.
Вот примеры.
1. Первое число 0.8, второе-1. На сколько процентов первое число меньше второго и насколько процентов второе число больше первого.
I число-0.8 х% 100%
II число-1 100% у%
х=80% у=125%
Ответ: на 20%, на 25%
2. Первое число 2, второе - 3. На сколько процентов первое число меньше второго и насколько процентов второе число больше первого.
I число-2 х% 100%
II число-3 100% у%
х=66,7% у=150%
Ответ: на 33,3%, на 50%
3. Задача повышенной трудности.
№ 1189 (Алгебра7кл, Макарычев Ю.Н. и др)
Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10 % больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
|
Кол-во орехов |
Кол-во % |
Кол-во % |
Кол-во орехов |
1 ящик |
х |
100 |
|
|
2 ящик |
1.1х |
110 |
130 |
1.3 у |
3 ящик |
у |
|
100 |
|
х- у =80 х = у+80 1.1(у+80)=1.3 у 1.1 у+88=1.3 у 0.2 у=88 у=440 х=520
1,1х=1,3у
Ответ: 520,572,440.
5. Задачи на сплавы, смеси и концентрации.
1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Масса раствора (л) |
% |
Масса вещества в растворе (л) |
|
1 раствор |
5 |
12 |
0,12*5=0,6 |
Вода |
7 |
||
Новый раствор |
5+7=12 |
Х |
0,01Х*12=0,12Х |
0,12Х=0,6 Х=5
Ответ: 5%
2.Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?
Масса (кг) |
% содержания «чистого» винограда |
Масса «чистого» винограда (кг) |
|
Виноград |
Х |
10 |
0,1*Х |
Изюм |
20 |
95 |
0,95*20=19 |
0,1Х=19 Х=190
Ответ: 190 кг
3. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.
Масса сплава(г) |
Проба |
Масса серебра в сплаве(г) |
|
1 слиток |
75 |
600 |
075*0.6=45 |
2 слиток |
150 |
864 |
150*0.864=129.6 |
Новый сплав |
75+150=225 |
х |
225*0.001х=0.225х |
45+129.6=0.225х х=776
Ответ: 776 пробы.
4. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Масса сплава(кг) |
% |
Масса меди в сплаве(кг) |
|
1 сплав |
х |
10 |
0.1х |
2 сплав |
х+3 |
40 |
0.4(х+3) |
Новый сплав |
х+х+3 |
30 |
0.3(х+х+3) |
0.1х+0.4(х+3)=0.3(х+х+3) 0.5х+1.2=0.6х+0.9 0.1х=0.3 х=3
Ответ: 9 кг
5. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
|
Масса раствора(кг) |
% |
Масса вещества в растворе(кг) |
1 раствор |
х |
30 |
0.3х |
2 раствор |
у |
60 |
0.6у |
Вода |
10 |
|
|
Новый раствор |
х+ у+10 |
36 |
0.36(х+ у+10) |
|
|
|
|
1 раствор |
х |
30 |
0.3х |
2 раствор |
у |
60 |
0.6у |
3 раствор |
10 |
50 |
0.5*10=5 |
Новый раствор |
х+ у+10 |
41 |
0.41(х+ у+10) |
0.36(х+ у +10)=0.3х+0.6 у 0.24 у- 0.06х=3.6 24 у-6х=360
0.41(х+ у +10)= 0.3х+0.6 у +5 0.11х-0.19 у=0.9 11х-19 у =90 х=60 у=30
Ответ: 60 кг