Публикации педагогических материалов:
текстовые статьи и презентации
  • lu_res@mail.ru
  • Следующее обновление сборников с № ISBN 05.03.2024г.

Регистрационный номер СМИ: ЭЛ № ФС 77 - 69099 от 14.03.2017г.  Смотреть

Идентификатор Издательства в Российской книжной палате: 9908210  Смотреть

     
kn publ mater   kn publ isbn
     
     
kn publ ob   kn publ master
     

Решение сложных задач по математике упрощенным способом

Дата публикации: 2018-12-19 09:03:11
Статью разместил(а):
Ложкина Ольга Федоровна

Решение сложных задач по математике упрощенным способом

Автор: Ложкина Ольга Федоровна

 

При подготовке к экзаменам  в школьном курсе  основной школы встречаются задачи пяти видов - это задачи на движения, на течения, на работу, на проценты, на сплавы, концентрации, смеси. Рассмотрим все эти виды задач.

1.Задачи на движения решаем с помощью таблиц, так как очень быстро можно решить задачу, оформление компактно, красиво.

Обучающимся  5 класса этот способ нравится, они уже решают без помощи учителя. Этим же способом решаем задачи  на цены, количество и суммы.

1. №62 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)

Автобус шел 2 часа со скоростью 45 км/ч и 3ч со скоростью 60км/ч.   Какой  путь прошел автобус за эти 5 часов?

 

Скорость (км/ч)

Время (ч)

Путь (км)

1

45

2

45х2=90

2

60

3

60х3=180

90+180=270

Ответ: 270 км.

 

Более сложная задача на движение.

2. № 621 (Алгебра8кл, Макарычев Ю.Н. и др)

Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне в 729 км увеличил скорость, с которой шел по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

 

Скорость (км/ч)

Время (ч)

Путь (км)

По расписанию

х

720/х

720

Фактически

Х+10

720/(х+10)

720

720/х =(720/(х+10))+1    О,Д,З, х≠0, х+10≠0

720х+7200=720х+х2+10х

х2+10х-7200=0

х1=80,х2=-90}по т. Виета.

Ответ 80км/ч.

 

2. Задачи на работу.

1. № 1488 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)

В цистерну через две трубы налили 2.28т бензина. Через первую трубу поступало3.6 т бензина в час, и она была открыта 0.4 ч. Через вторую трубу поступало за час на 0.8т бензина меньше, чем через первую. Сколько времени была открыта  вторая труба?

 

Кол-во т за 1 час

Время (ч)

Всего( т)

1

3.6

О.4

3.6х0.4=1.44

2

3.6-0.8=2.8

0.84:2.8=0.3

2.28-1.44=0.84

Ответ: 0.3ч

 

2. № 1748 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)

.За первые 14 рабочих дней завод изготовил 560 стиральных машин, а затем стал изготовлять в день на 5 машин больше. Сколько машин выпустил завод за 20 рабочих дней?

 

Кол-во машин за 1 день

Кол-во дней

Всего машин

1

560:14=40

14

560

2

40+5=45

6

45х6=270

270+560=830

Ответ: 830 машин

3. № 172 (Алгебра8кл, Макарычев Ю.Н. и др)

 Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 часа, а его ученик - за 6 часов. За какое время они смогут  выполнить заказ, работая совместно?

 

Часть заказа, выполненная  за 1 час

Кол-во часов

Весь заказ

Мастер

1/4

4

1

Ученик

1/6

6

1

Вместе

1/4+1/6=5/12

1:5/12=2.4

1

Ответ: 2.4 ч

 

3. Задачи на течения.

1. № 1220 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.)

Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна 21,6 км/ч, а скорость течения реки 4,7 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения.

Задачи на течения решаем с помощью оформления такой записи:

Собственная скорость катера---------------21,6

Скорость течения реки-----------------------4,7

Скорость катера по течению----------------21,6+4,7=26,3

Скорость катера против течения-----------21,6-4,7=16,9

 

2 вид задачи на течения.

2. №1508 (Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.) 

Скорость катера по течению 18.6 км/ч, а против течения 14.2 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Собственная скорость катера----------?

Скорость течения реки------------------?

Скорость катера по течению----------18.6

Скорость катера против течения- ---14.2

Такие задачи тоже решаем, хотя таких задач мало в 5 классе.

Обучающимся даю правило, что если сложить скорости по течению и против течения и результат разделить на 2, то получим собственную скорость, а при вычитании и делении на 2 - скорость течения реки.

Задача повышенной трудности на течение:

3. №712 (Алгебра8кл, Макарычев Ю.Н. и др)

Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 часов. Однажды, не дойдя  40 км до пристани N, катер повернул  назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч.найдите скорость катера в стоячей воде если скорость течения реки 2 км/ч.

Собственная скорость катера----------х

Скорость течения реки------------------2

Скорость катера по течению----------х+2

Скорость катера против течения- ---х-2

 

Скорость (км/ч)

Время (ч)

Путь (км)

По расписанию

х+2

6

6(х+2)

Фактически по течению

х+2

у/(х+2)

у

Фактически против течения

х-2

у/(х-2)

у

     у/(х+2)+ у/(х-2)=9      9х2-2х у-36=0     3 х2-56х+36=0    х1 =18       х2=2/3

     у+40=6(х+2)                у-6х=28

Ответ: 18км/ч

4. Задачи на проценты.

В учебнике «Математика 5 класс, Виленкин Н.Я. и др.» задачи на проценты решаются очень «сложно»

1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Так как1200 костюмов- это 100%, то чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100.Получим, что 1200:100=12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмам. Чтобы найти, чему  равен 32% выпуска, надо 12*32=384.

Я  всегда говорю, что процент от числа находится умножением, только не проценты умножаем, а десятичные дроби.

В течение нескольких уроков учимся превращать проценты в десятичную дробь и обратно.

2 способ решения:

32%=0.32     0.32*1200=384

2.За контрольную работу по математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого разделим 12 на 30.Так как 12/30=0.4, то 1% равен0.4. Чтобы узнать, чему равен 100%учащихся, надо умножить 0.4на 100.

Ответ: 40 учащихся.

2 способ решения:

Пусть х- количество всех учащихся

30%=0.3

Тогда решаем уравнение:

0.3*х=12    х=40

3. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажено картофелем?

Очень простой способ решения задачи:

Пусть  х - количество %, засаженная картофелем

х%=0.01х       0.01х*1800=558      х=31%

Ответ:31%

Когда решаем задачи на проценты, не надо забывать - что принять за 100%.

Вот примеры.

1. Первое число  0.8, второе-1. На сколько процентов первое число меньше второго и насколько процентов второе число больше первого.

I  число-0.8             х%                                100%

II  число-1              100%                              у%

                                х=80%                           у=125%

Ответ:                     на 20%,                          на 25%

2. Первое число  2, второе - 3. На сколько процентов первое число меньше второго и насколько процентов второе число больше первого.

I  число-2               х%                                100%

II  число-3             100%                              у%

                               х=66,7%                         у=150%

Ответ:                   на 33,3%,                        на 50%

 

3. Задача повышенной трудности.

№ 1189 (Алгебра7кл, Макарычев Ю.Н. и др)

Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10 % больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

 

Кол-во орехов

Кол-во %

Кол-во %

Кол-во орехов

1 ящик

х

100

 

 

2 ящик

1.1х

110

130

1.3 у

3 ящик

у

 

100

 

х- у =80             х = у+80   1.1(у+80)=1.3 у      1.1 у+88=1.3 у   0.2 у=88   у=440  х=520

1,1х=1,3у 

 Ответ: 520,572,440.

 

5. Задачи на сплавы, смеси и концентрации.

1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

 

Масса раствора (л)

%

Масса вещества в растворе (л)

1 раствор

5

12

0,12*5=0,6

Вода

7

   

Новый раствор

5+7=12

Х

0,01Х*12=0,12Х

0,12Х=0,6      Х=5

Ответ: 5%

 

2.Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

 

Масса (кг)

% содержания  «чистого» винограда

Масса  «чистого» винограда (кг)

Виноград

Х

10

0,1*Х

Изюм

20

95

0,95*20=19

0,1Х=19      Х=190

Ответ: 190 кг

 

3. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

 

Масса сплава(г)

Проба

Масса серебра в  сплаве(г)

1 слиток

75

600

075*0.6=45

2 слиток

150

864

150*0.864=129.6

Новый сплав

75+150=225

х

225*0.001х=0.225х

45+129.6=0.225х    х=776

Ответ: 776 пробы.

 

4. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

 

Масса сплава(кг)

%

Масса меди  в  сплаве(кг)

1 сплав

х

10

0.1х

2 сплав

х+3

40

0.4(х+3)

Новый сплав

х+х+3

30

0.3(х+х+3)

0.1х+0.4(х+3)=0.3(х+х+3)    0.5х+1.2=0.6х+0.9    0.1х=0.3    х=3

Ответ: 9 кг

 

5. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

 

Масса раствора(кг)

%

Масса вещества в растворе(кг)

1 раствор

х

30

0.3х

2 раствор

у

60

0.6у

Вода

10

 

 

Новый раствор

х+ у+10

36

0.36(х+ у+10)

 

 

 

 

1 раствор

х

30

0.3х

2 раствор

у

60

0.6у

3 раствор

10

50

0.5*10=5

Новый раствор

х+ у+10

41

0.41(х+ у+10)

    0.36(х+ у +10)=0.3х+0.6 у              0.24 у- 0.06х=3.6     24 у-6х=360

    0.41(х+ у +10)= 0.3х+0.6 у +5        0.11х-0.19 у=0.9       11х-19 у =90      х=60       у=30

Ответ: 60 кг

.  .  .