Решение задач с помощью кругов Эйлера

Автор: Ложкина Ольга Федоровна

МОУ «Лужбелякская основная общеобразовательная школа»

 

Решение задач с помощью кругов Эйлера в различных изданиях рассматривается по-разному. В этой статье все задачи решены одним способом.

 

Пусть даны два множества А и В

А ÇВ - пересечение множеств

АÈВ - объединение множеств

«Формула»  для вычисления объединения  двух множеств выглядит так:

АÈВ=А+В –(АÇВ)

Если даны три множества А,В,С

(АÈВÈС)=А+В+С-((АÇВ)+(АÇС)+(ВÇС))+(АÇВÇС) 

Круги  Эйлера – это геометрические конструкции, которые применяются для упрощения восприятия логических связей между предметами, понятиями и явлениями. При помощи этого метода ученый решал сложнейшие математические задачи. Применение простых фигур позволяло свести решение любой, даже самой сложной задачи, к символической логике – максимальному упрощению рассуждений.

Правило применения кругов Эйлера:

1. Определить группы элементов данных задачи. 

2. Построить круги, моделирующие множества данных задачи. 

3. Составить числовое  выражение. 

4. Записать  ответ. 

 

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера можно разделить на два вида.

Задачи с двумя кругами:

Задача № 1. 

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Решение.

В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки.

чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме:

Круг З изображает школьников, собирающих значки (всего их 23), а круг М - школьников, собирающих марки (всего их 35). В пересечении кругов З и М стоит число 16 - это те, кто собирает и значки, и марки. Значит, только значки собирает 23 - 16 = 7 человек, только марки собирает 35 - 16 = 19 человек. Всего марки и значкисобирает19 + 7 + 16 = 42 человека. Остаётся 52 - 42 = 10 человек, не увлечённых коллекционированием. Это число можно вписать в свободное поле круга.

Упрощенный способ решения

23+35-16=42

52-42=10

Ответ: 10 человек

 

Задача № 2. 

В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и тем, и другим?

Решение:

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера . Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число в каждую из образовавшихся на диаграмме частей .

Пусть всеми видами спорта занимаются х мальчиков.

10+9-х=15

х=4

Ответ: 4 человека.

 

Задача № 3. 

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Чучело», 11 человек – фильм «Выше неба», из них 6 смотрели и «Чучело», и «Выше неба». Сколько человек смотрели только фильм «Выше неба»?

Решение: Чертим два множества таким образом: 6 человек, которые смотрели фильмы «Чучело» и «Выше неба», помещаем в пересечение множеств. 

15+11-6=20  11-6=5

Ответ: 5 человек смотрели только «Выше неба».

 

Задача № 4. 

В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 - Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр?

Решение:

Пусть Х человек не собираются идти в театр

52+30-12=80-х

х=10

Ответ: 10 человек

 

Задача № 5

В доме живут 100 человек. На газету “Вестник” подписаны 65 чел., а на газету “Правда” подписаны на 18 человек больше, чем на газету “Вестник”. Но 10 человек не подписались ни на какую газету. Сколько человек подписано и на газету “Вестник”, и на газету “Правда”?

Решение:

Пусть  Х человек  подписались и на газету “Вестник”, и на газету “Правда” 

65+(65+18)-х=100-10

х=58

Ответ: 58 чел.

 

Задача № 6. 

В туристической группе из 100 человек 75 человек знают немецкий язык, 65 человек - английский язык, а 10 человек - не знают ни немецкого, ни английского языка. Сколько туристов знают два языка?

 Решение: 

Пусть  Х туристов знают два языка 

75+65-х=100-10

х=50

Ответ: 50 туристов.

 

Задача № 7.

В классе 26 учеников. 15 из них смотрели фильм про Супермена, а фильм про Бэтмена смотрели на 3 ученика больше, чем фильм про Супермена. А 4 ученика вообще не посмотрели эти фильмы. Сколько человек посмотрело и фильм про Супермена, и фильм про Бэтмена?

Решение:

Пусть Х  учеников посмотрели фильм и про Бэтмена, и про Супермена 

15+(15+3)-х=26-4

х=11

Ответ: 11 уч. 

 

Задача № 8. 

 “А” класс, в котором 23 ученика очень любят смотреть мультики. 15 детей любят смотреть мультик “Маша и Медведь”, а 18 детей любят смотреть мультик “Ми-ми-мишки”. Но есть и те кому нравится смотреть и первый, и второй мультик. Сколько таких детей? Также нужно вычислить сколько детей любят смотреть только мультик “Маша и Медведь”, и только мультик “Ми-ми-мишки”.

Решение:

Пусть Х детей любят и мультик “Маша и Медведь”, и мультик “Ми-ми-мишки”. 

15+18-х=23

х=10

15-10=5(дет.) любят только мультик “Маша и Медведь” 

18-10=8(дет.) любят только мультик “Ми-ми-мишки”.

Ответ: 10 дет., 5 дет., 8 дет.

 

Задача № 9 

На прилавке в магазине лежали 35 булочек. 17 из них были с повидлом, 25 были посыпаны маком, но были также булочки с повидлом и маком. Сколько было таких булочек? Также вычислите сколько было булочек только с повидлом и только с маком.

Решение: 

Пусть Х булочек с повидлом и маком.

17+25-х=35

х=7

17-7=10(бул.) с повидлом.

25-7=18(бул.) с маком.

Ответ:7 бул., 10 бул.,18 бул.

 

Задача № 10 

В классе 20 учеников. 18 учеников любят красный цвет, а 19 учеников любят зелёный цвет. Сколько ребят любят и красный цвет, и зелёный цвет?

Решение:

Пусть Х учеников любят красный и зелёный цвет.

18+19-х=20

х=17

Ответ: 17 уч.

 

Задача № 11 

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:  

15+11-6=20

11-6=5

Ответ: 5 человек.

 

Задача № 12 

В классе 26 учеников. 18 учеников любят яблоки, а 16 учеников любят груши. Сколько учеников любят и яблоки, и груши?

Решение:

Пусть Х учеников любят  и яблоки, и груши

18+16-х=26

х=8(уч.) любят и яблоки, и груши.

Ответ: 8 уч.

 

Задача № 13.

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» - символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер или Линкор	7000
Крейсер	4800
Линкор	4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? 

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Пусть Х -‒ Крейсер и Линкор

4800+4500-х=7000

х=2300

Ответ: 2300 страниц.

 

Задача № 14 

При опросе 100 учеников 6-х классов выяснилось, что у 78 человек есть планшет, у 85 - смартфон, а у 8 учеников нет ни планшета, ни смартфона. У скольких учеников есть и планшет, и смартфон?

Решение:

Пусть Х учеников имеют и планшет, и смартфон

78+85-х=100-8

х=71

Ответ: 71 ученик.

 

Задача № 15 

В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке  кругСизображает жильцов с собаками, круг К - жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не имеют ни кошек, ни собак?

Решение:

Пусть Х человек не имеют ни кошек, ни собак.

23+31-8=120-х

х=74

Ответ: 74 человека.

 

Задача № 16.

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Решение:

Пусть х человек купили диски и Максим, и Земфиры

20+11-х=35-10

х=8

Ответ: 8 человек

 

Задачи с тремя кругами:

 Задача № 1 

Сколько человек участвует в прогулке, если известно, что 16 из них взяли бутерброд с ветчиной, 24 - с колбасой, 15 - с сыром, 11 и с ветчиной, и с колбасой, 8 и с ветчиной, и с сыром, 12 и с колбасой, и с сыром, 6 - бутерброды всех видов, а 5 - взяли пирожки?

Решение:  

Пусть Х человек купили бутерброды

16+24+15-(8+11+12)+6=х

Х=30                     30+5=35

Ответ: 35 человек

 

Задача № 2 

В 5 классе нашей школы 22, в 6 классе – 16, в 7 классе – 23 ребят. Известно, что кружки по лыжам, шахматам и спортивным играм ходят 4 человека. Каждые две секции посещают 9 человек. Сколько человек ходит из каждого класса на секции? Сколько учеников, не ходит ни на какой спортивный кружок?

Решение:

Посещают кружки:

 из 5 класса          6 класса          7 класса   по

9+9-4=14

Ответ: 14 учеников с каждого класса посещают кружки,

не ходят ни на какой

из 5-ого22-14= 8 учеников,

из 6-ого –16-14= 2учеников

из 7-ого –23-14= 9 учеников.

 

Задача № 3 

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеет кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение:

Пусть Х человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде

30+28+42-(8+10+5)+3=100-х

х=20

Ответ: 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

 

Задача № 4 

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Пусть Х человек не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

27+32+22-(10+6+8)+3=70-х

х=10

22-(8+6)+3=11

Ответ: 10 человек, не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 11 человек заняты только спортом.

 

Задача№5

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение: 

Пусть х человек пользуются всеми тремя видами транспорта.

23+15+20-(10+12+9)+х=30

х=3

Ответ: 3 человека.

 

Задача № 6 

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10 - в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Решение:

Пусть Х сотрудников побывали и  во Франции и в Италии

16+10+6-(5+6+х)+5=19

х=7

7-5=2

Ответ: 2 сотрудника.

 

Задача № 7 

Ребят, которые хотят обмениваться различного рода журналами, собралось 10 человек. Среди них выписывают К - 6 человек, Т – 5 человек, Ю – 5 человек, К и Т – 3 человека, Т и Ю -2 человека, К и Ю – 3 человека., а один человек не выписывает ни одного журнала, но читает все эти журналы в библиотеке. Надо узнать, сколько человек выписывают все три журнала, сколько – два, а сколько – только один журнал.

Решение:

Пусть х ребят выписывают все три журнала,

6+5+5-(3+2+3)+х=10-1

х=1

К-Т---3-1=2

К-Ю---3-1=2

Т-Ю---2-1=1     2+2+1=5

К---6-(3+3)+1=1

Т---5-(3+2)+1=1

Ю---5-(3+2)+1=1   1+1+1=3+

Ответ: 1 чел. выписывает все три журнала.

5 чел. выписывают два журнала.

3 чел. выписывают только один журнал.

 

Задача № 8 

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

Решение:

Пусть Х книг прочитал Рон

11+7+2+х-(2+4+0)+0=26

х=8

Ответ: 8 книг прочитал Рон.

 

Задача № 9 

Пятиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Ну, погоди!» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Ну, погоди!», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же пятиклассникам нравится «Ну, погоди!».

Решение:

Пусть Х  учеников являются фанатами «Ну, погоди!»

21+13+х-(6+3+5)+1=38

х=17

Ответ: 17 учеников.

 

Задача № 10 

В 5А классе 24 ученика. Все они хорошо провели зимние каникулы. 10 человек катались на лыжах, 16 ездили на каток,

а 12 — лепили  снеговиков.  Сколько учеников смогли покататься и на лыжах, и на коньках, и слепить снеговика?

Решение: 

Пусть Х учеников смогли покататься и на лыжах, и на коньках, и слепить снеговика.

(10 + 12 + 16) – 2х = 24,

 2х =  38 – 24

x = 7

Ответ: 7 учеников

 

Задача № 11 

9 друзей Чебурашки любят бананы, 8 – апельсины, а 7 – сливы, 5 – бананы и апельсины, 3 – бананы и сливы, 4 – апельсины и сливы, 2 – бананы, апельсины и сливы. Сколько друзей у Чебурашки?

Решение:

9+8+7-(5+3+4)+2=14

Ответ: 14друзей.

 

Задача № 12.

В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько  ребят  увлекаются  всеми тремя  видами  спорта?

Решение: 

Пусть Х человек в классе увлечены всеми тремя видами спорта.  

16+17+18-(4+3+5)+х=38+3

х=2

Ответ: 2 ребят. 

Задача № 13.

В классе 20 человек. На экзаменах по истории, математике и литературе 10 учеников не получили ни одной оценки "5", 6 учеников получили "5" по истории, 5 человек - по математике и 4 человека ‒ по литературе, 2 ученика ‒ по истории и по математике, 2 ученика  по истории и литературе, 1 ученик - по математике и литературе. Сколько учеников получили "5" по всем предметам.

Решение:  

Пусть Х учеников получили "5" по всем  предметам.

6+5+4-(2+2+1)+х=20-10

х=0

Ответ: 0 учеников.

 

Задача № 14 

Школа представила отчёт: "Всего в школе 60 шестиклассников, из них 37 отличников по математике, 33 - по русскому языку и 42 - по физкультуре. При этом у 21 человека "пятёрки" и по математике и по русскому, у 23 - по математике и по физкультуре,  у 22 - по русскому и по физкультуре. При этом 20 человек учатся на "отлично" по всем трём предметам. Верен ли отчёт школы?

Решение:  

37+33+42-(21+22+23)+20=60

66>60

Ответ: отчёт школы неверен.

 

Задача № 15.

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах, созданных киностудией "Мельница". В частности, вопросы были о мультфильмах, повествующих о приключениях трёх самых известных богатырей - Алёши Поповича,  Добрыни Никитича и Ильи Муромца.

Оказалось, что большинству из них нравятся "Три богатыря и Шамаханская царица", "Три богатыря на дальних берегах" и "Три богатыря. Ход конём". В анкетировании принимали участие 38 учеников.  Мультфильм "Три богатыря на дальних берегах, нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и "Три богатыря. Ход конём", шестерым - "Три богатыря и Шамаханская царица», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У мультфильма "Три богатыря. Ход конём" 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким  шестиклассникам нравится мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".

Решение: 

Пусть Х шестиклассникам нравится мультфильм "Три богатыря и Шамахинская царица". 

21+х+13-(6+3+5)+1=38

х=17

Ответ: 17 учеников.

 

Задача № 16.

В  пионерском лагере «Дубки» в смене актива отдыхали: 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. 10  человек были и отличниками и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличники, и спортсмены, и победители олимпиад.Сколько ребят отдыхали в лагере? 

Решение:

30+28+42-(5+8+10)+3=80

Ответ: 80 ребят. 

 

Круги еще можно залить, но если принтер не цветной, то они теряют всякий вид.